Esponenziali, logaritmi e goniometria
Sono persuaso che la matematica sia il più importante strumento di conoscenza fra quelli lasciatici in eredità dall’agire umano, essendo la fonte di tutte le cose.
(Cartesio)
Se ti piace la matematica non potrà non piacerti questa parte della matematica!
Gli esponenziali, i logaritmi e la goniometria vengono studiati nel quarto anno di liceo scientifico.
Proprietà delle potenze e delle funzioni
Proprietà delle potenze
Proprietà delle funzioni
  • a^n·a^m=a^n+m
  • a^n/a^m=a^n-m
  • (a^n)^m=a^n·m
  • a^n·b^n=(a·b)^n
  • a^n/b^n=(a/b)^n
  • a^-n=(1/a)^n
  • a^0=1
    • Dominio:
      1. Funzioni intere: ℝ
      2. Funzioni fratte: Denominatore diverso da 0
      3. Funzioni irrazionali: Radicando ≥ 0
    • Segno
    • Intersezione
    Funzione esponenziale:
    y=a^x :
      • è una funzione sempre definita;
      • ha dominio D=ℝ;
      • ha codominio C=ℝ⁺;
      • il suo grafico passa per (0;1);
      • è biunivoca.
    Funzione esponenziale crescente e decrescente

    Funzione esponenziale crescente (a>1):
    x₁<x₂ → f(x₁)<f(x₂)

    Funzione esponenziale decrescente (0<a<1):
    x₁<x₂ → f(x₁)>f(x₂)
    Funzione speciale
    y=e^x e→Numero di Nepero

    e≃2,71
    Disequazioni esponenziali
    a^f(x)≥≤a^g(x):
    • se a>1 si conserva il verso;
    • se 0<a<1 si cambia il verso.
    Equazioni esponenziali
    • I° Tipo: I° e II° membro si possono esprimere come potenze di ugual base. a^f(x)=a^g(x). Risolvibili tramite la scomposizione della potenza (nel caso in cui serva) e l'eliminazione della base.
    • II° Tipo: Potenze della stessa base. Presenti anche somma e differenza. a^f(x)±a^g(x)=a^k(x). Risolvibili tramite l'uso di una seconda incognita (t, s, z, ecc...) posta uguale all'esponenziale con esponente maggiore.

    Metodo grafico
    Si riccorre al metodo grafico quando ci si trova difronte ad una funzione che prevede un incognita all'esponente ed una alla base.
    In questo caso la funzione può essere tradotta come:
    ½^x=-x^2+2.
    Il metodo grafico prevede infatti la scomposizione della funzione originaria in due altre funzioni che, in questo esempio, sono y=½^x e y=-x^2+2. Dopo la scomposizione, le due funzioni vengono disegnate graficamente dando dei valori alle incognite. La soluzione dell'esercizio è data dal punto d'intersezione delle due funzioni (A e B). Questo tipo di metodo non consente talvolta delle soluzioni precise, ma più definito è il grafico più è possibile avvicinarsi alla soluzione esatta.
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